Question

設命題P：a²＜a，命題Q：對任何x∈R，都有x²+4ax+1＞0，命題P且Q為假，P或Q為真，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先求出命題P，Q成立的等價條件，然后利用P且Q為假，P或Q為真，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：由a²＜a得0＜a＜1，即P：0＜a＜1，
若對任何x∈R，都有x²+4ax+1＞0，
則判別式△=16a²-4＜0，即a2＜

1

4

，
解得-

1

2

＜a＜

1

2

，即Q：-

1

2

＜a＜

1

2

．
∵命題P且Q為假，P或Q為真，
∴P，Q為一真一假，
若P真Q假，則

0＜a＜1 a≥ 1 2 或a≤- 1 2

，解得

1

2

≤a＜1．
若P假，Q真，則

a≥1或a≤0 - 1 2 ＜a＜ 1 2

，
解得-

1

2

＜a≤0，
綜上：-

1

2

＜a≤0或

1

2

≤a＜1．
故答案為：-

1

2

＜a≤0或

1

2

≤a＜1．

點評：本題主要考查復合命題的真假判斷和應用，利用條件先求出P，Q的等價條件是解決本題的關鍵．