Question

已知拋物線C：y=mx²（m＞0）．焦點為F，直線2x-y+2=0交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q，
（1）求拋物線C的焦點坐標；
（2）若拋物線C上有一點R（xR，2）到焦點F的距離為3，求此時m的值．
（3）是否存在實數m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角線？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）拋物線C：y=mx²（m＞0），即x²=

1

m

y，可求出焦點坐標；
（2）利用拋物線的定義把焦點F的距離為3轉化為到準線的距離為3即可求m的值．
（3）△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形即是

QA

•

QB

=0，把直線方程和拋物線方程聯立，可以得到A，B兩點的坐標進而求得P以及Q的坐標，代入是

QA

•

QB

=0，即可求出m的值．

解答： 解：（1）拋物線C：y=mx²（m＞0），
即x²=

1

m

y，
∴拋物線C的焦點為F（0，

1

4m

）；
（2）∵拋物線C上有一點R（x_R，2）到焦點F的距離為3，
∴2+

1

4m

=3，
∴m=

1

4

．
（3）聯立方程

y=mx2 2x-y+2=0

，
消去y得mx²-2x-2=0，設A（x₁，mx₁²），B（x₂，mx₂²），
則x1+x2=

2

m

，x1•x2=-

2

m

（*），
∵P是線段AB的中點，
∴P（

x1+x2

2

，

m(x12+x22)

2

），即P（

1

m

，y_p），
∴Q（

1

m

，

1

m

），
得

QA

=（x₁-

1

m

，mx₁²-

1

m

），

QB

=（x₂-

1

m

，mx₂²-

1

m

），
若存在實數m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形，則是

QA

•

QB

=0，
即（x₁-

1

m

）•（x₂-

1

m

）+（mx₁²-

1

m

）（mx₂²-

1

m

）=0，
結合（*）化簡得-

4

m2

-

6

m

+4=0，
即2m²-3m-2=0，
∴m=2或m=-

1

2

（舍去），
∴存在實數m=2，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形．

點評：本題考查拋物線的應用以及直線與拋物線的綜合問題．解決本題的關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，中點坐標公式進行求解．