Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，，底面ABCD為直角梯形，其中，，，O為AD中點．

求直線PB與平面POC所成角的余弦值．

求B點到平面PCD的距離．

線段PD上是否存在一點Q，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)(2)(3)存在，

【解析】

試題（1）易得平面，所以即為所求．（2）由于，從而平面，所以可轉化為求點到平面．（3）假設存在，過Q作，垂足為，過作，垂足為M，則即為二面角的平面角．設，利用求出，若，則存在，否則就不存在．

試題解析：（1） 在△PAD中PA="PD," O為AD中點，所以PO⊥AD,

又側面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD="AD,"平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD．

又在直角梯形 中,易得;

所以以 為坐標原點,為 軸, 為 軸,

為軸建立空間直角坐標系．

則,, ，;

, 易證:,

所以平面的法向量,

所以與平面所成角的余弦值為

（2），設平面PDC的法向量為，

則，取 得

點到平面的距離

（3）假設存在，且設．

因為

所以，

設平面CAQ的法向量中，則

取，得．

平面CAD的一個法向量為，

因為二面角Q OC D的余弦值為，所以．

整理化簡得：或（舍去），

所以存在，且