Question

【題目】已知函數，

（Ⅰ）當時，求函數的單調遞減區間；

（Ⅱ）若時，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若數列滿足， ，記的前項和為，求證： .

【答案】（I）；（II）；（III）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；（Ⅱ）當時，因為，所以顯然不成立，先證明因此時， 在上恒成立，再證明當時不滿足題意，從而可得結果；（III）先求出等差數列的前項和為，結合（II）可得，各式相加即可得結論.

試題解析：（Ⅰ）由，得.所以

令，解得或（舍去），所以函數的單調遞減區間為 .

（Ⅱ）由得，

當時，因為，所以顯然不成立，因此.

令，則，令，得.

當時， ， ，∴，所以，即有.

因此時， 在上恒成立.

②當時， ， 在上為減函數，在上為增函數，

∴，不滿足題意.

綜上，不等式在上恒成立時，實數的取值范圍是.

（III）證明：由知數列是的等差數列，所以

所以

由（Ⅱ）得， 在上恒成立.

所以. 將以上各式左右兩邊分別相加，得

.因為

所以

所以.

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】已知直線， (為參數， 為傾斜角).以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的直角坐標方程為.

（Ⅰ）將曲線的直角坐標方程化為極坐標方程；

（Ⅱ）設點的直角坐標為，直線與曲線的交點為、，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）將由代入，化簡即可得到曲線的極坐標方程；（Ⅱ）將的參數方程代入，得，根據直線參數方程的幾何意義，利用韋達定理結合輔助角公式，由三角函數的有界性可得結果.

試題解析：（Ⅰ）由及，得，即

所以曲線的極坐標方程為

（II）將的參數方程代入，得

∴, 所以，又，

所以，且,

所以,

由，得，所以.

故的取值范圍是.