Question

【題目】已知函數(shù)的圖象與軸相切，且切點(diǎn)在軸的正半軸上.

(1)若函數(shù)在上的極小值不大于，求的取值范圍.

(2)設(shè)，證明： 在上的最小值為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，即得.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變號(hào)規(guī)律得當(dāng)時(shí)， 在處取得極小值，解不等式得的取值范圍.（2）先求導(dǎo)數(shù)，并因式分解，再利用導(dǎo)數(shù)確定因子符號(hào)為正，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律確定單調(diào)性，進(jìn)而確定最小值

試題解析：（1）， 得，

由題意可得，解得.

，

當(dāng)時(shí)， 無極值；

當(dāng)，即時(shí)，令得；

令得或.

在處取得極小值，

當(dāng)，即， 在（-3,2）上無極小值，

故當(dāng)時(shí)， 在（-3,2）上有極小值

且極小值為，

即.

， ， .

又，故.

（2）證明： ， ，

設(shè)， ，

， ，又， ，

， 在上遞增，

，

令得；令得.

為定值.