Question

已知函數f（x）=ln（ax²+x-b）．
（1）當a=1時，若函數f（x）的定義域為R，求實數b的取值范圍．
（2）當b=-1時，另g（x）=f（2^x）-f（

a

2

），若當x∈（-∞，1]時g（x）有意義，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）當a=1時，f（x）=ln（x²+x-b），從而可得△=1+4b＜0，從而解得；
（2）化簡g（x）=f（2^x）-f（

a

2

）=ln（a（2^x）²+2^x+1）-ln（

a3

4

+

a

2

+1），從而可得當x∈（-∞，1]時，y=a（2^x）²+2^x+1＞0恒成立及

a3

4

+

a

2

+1＞0成立，從而求解．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=ln（x²+x-b），
故△=1+4b＜0，
解得，b＜-

1

4

；
（2）g（x）=f（2^x）-f（

a

2

）
=ln（a（2^x）²+2^x+1）-ln（

a3

4

+

a

2

+1），
∵當x∈（-∞，1]時g（x）有意義，
∴當x∈（-∞，1]時，y=a（2^x）²+2^x+1＞0恒成立，
故a＞-（

1

2x

+

1

2

）²+

1

4

；
故a＞-

3

4

；

a3

4

+

a

2

+1＞0可化為a³+2a+4＞0；
易知h（a）=a³+2a+4在R上單調遞增，
且h（-

3

4

）=-

27

64

-

3

2

+4＞0；
故a＞-

3

4

．

點評：本題考查了函數的性質的判斷與應用，屬于基礎題．