Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）令，討論函數的零點的個數；

（3）若，正實數滿足，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）2x﹣y﹣1=0；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，計算，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論 的范圍，根據函數的單調區間和函數的極值即可討論函數的零點的個數；；
（Ⅲ）得到 令，則，根據函數的單調性求出，證明結論即可．

試題解析：

（1）當a=0時，f（x）= lnx+x，

則f（1）=1，所以切點為（1，1），

又f′（x）= +1，則切線斜率k = f′（1）=2，

故切線方程為：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0

（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，

所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，

當a≤0時，因為x＞0，所以g′（x）＞0．

所以g（x）在（0，+∞）上是遞增函數

而

所以函數有且只有一個零點

當0<a<1時，g′（x）=，

令g′（x）=0，得x=，

所以當x∈（0，）時，g′（x）＞0；當x∈（，+∞）時，g′（x）＜0，

因此函數g（x）在x∈（0，）是增函數，在（，+∞）是減函數，

∴x=時，g（x）有極大值g（）=﹣lna>0

又

∴當0<a<1時函數有兩個零點

（3）證明：當

所以

即為：

所以

令

所以

所以

所以

因為