Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且，求證．

Answer 1

【答案】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞減，在遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

(Ⅱ)證明見解析

【解析】試題分析：（1）由函數(shù)的定義域?yàn)?/span>， ，令，則，由根的判斷式進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由，知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)， ，由此推導(dǎo)出，且，即，構(gòu)造函數(shù)，能夠證明.

試題解析：(Ⅰ)定義域?yàn)?/span>

令，則．

①當(dāng)，即時(shí)， ，此時(shí)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時(shí)， 的兩個(gè)根為

，

當(dāng)，即時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞減，在遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

(Ⅱ)∵,∴當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)， ，

故此時(shí)，且，即， ,

設(shè)，其中， 則，

由于時(shí)， ，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故．∴．