【題目】已知橢圓
，橢圓
經過橢圓C1的左焦點F 和上下頂點A，B.設斜率為k的直線l與橢圓C2相切，且與橢圓C1交于P，Q兩點.
（1）求橢圓C2的方程；
（2）①若
，求k的值；
②求PQ弦長最大時k的值.
【答案】（1）
；（2）①
；②
.
【解析】
（1）分別求出C1的左焦點與上下頂點的坐標，可得橢圓C2的
的值，可得橢圓C2的方程；
（2）①設直線l的方程為
與橢圓C2聯立，由直線
與橢圓
相切，可得
，
可得
的關系，同時直線l與橢圓C1的方程聯立，
，
，由韋達定理結合
，即
，代入可得k的值；
②由①知
，可得
關于
的函數，化簡利用基本不等式可得PQ弦長最大時k的值.
解：（1）由題意可知，橢圓C1的左焦點
，
上下頂點
，
，
所以橢圓C2的左頂點為，上下頂點，，
所以
，
，
所以橢圓C2的方程為.
（2）設直線l的方程為與橢圓C2：方程聯立，消去y得，
，
因為直線與橢圓相切，所以
，
整理得，
，
直線l與橢圓C1的方程聯立得，
，
其中
.
設，，
則
.
①因為，所以，
即
，
所以
.
②由①知
，
設
，則
.
所以當
時，PQ的長最大，最大值為.
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【題目】某學校有40名高中生參加足球特長生初選，第一輪測身高和體重，第二輪足球基礎知識問答，測試員把成績（單位：分）分組如下：第1組
，第2組
，第3組
，第4組
，第5組
，得到頻率分布直方圖如圖所示.
（1）根據頻率分布直方圖估計成績的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）用分層抽樣的方法從成績在第3，4，5組的高中生中抽取6名組成一個小組，若再從這6人中隨機選出2人擔任小組負責人，求這2人來自第3，4組各1人的概率.
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【題目】如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構成．為保證安全，要求行使車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5米．若行車道總寬度AB為6米，則車輛通過隧道的限制高度是______米（精確到0.1米）
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【題目】已知拋物線Γ的準線方程為
.焦點為
.
（1）求證：拋物線Γ上任意一點
的坐標
都滿足方程：
（2）請求出拋物線Γ的對稱性和范圍，并運用以上方程證明你的結論；
（3）設垂直于
軸的直線與拋物線交于
兩點，求線段
的中點
的軌跡方程.
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【題目】某部門共有4名員工， 某次活動期間， 周六、 周日的上午、 下午各需要安排一名員工值班，若規定同一天的兩個值班崗位不能安排給同一名員工， 則該活動值班崗位的不同安排方式共有（ ）
A.120種B.132種C.144種D.156種
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【題目】下列四個命題：
函數
的最大值為1；
“
，
”的否定是“
”；
若
為銳角三角形，則有
；
“
”是“函數
在區間
內單調遞增”的充分必要條件．
其中錯誤的個數是( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】《算法統宗》全稱《新編直指算法統宗》，是屮國古代數學名著，程大位著.書中有如下問題：“今有五人均銀四十兩，甲得十兩四錢，戊得五兩六錢.問：次第均之，乙丙丁各該若干？”意思是：有5人分40兩銀子，甲分10兩4錢，戊分5兩6錢，且相鄰兩項差相等，則乙丙丁各分幾兩幾錢？（注：1兩等于10錢）（ ）
A.乙分8兩，丙分8兩，丁分8兩B.乙分8兩2錢，丙分8兩，丁分7兩8錢
C.乙分9兩2錢，丙分8兩，丁分6兩8錢D.乙分9兩，丙分8兩，丁分7兩
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