Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）若， 是橢圓上兩個不同的動點，且使的角平分線垂直于軸，試判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（I）由離心率可得關系，再將點坐標代入，可得間關系，又，解方程可得的值；（II）由的角平分線總垂直于軸，可判斷直線的斜率互為相反數，由兩直線都過點，由點斜式可寫出直線方程．一一與橢圓方程聯立，消去的值，可得一元二次方程，又點滿足條件，可求得點的坐標，用表示．再由斜率公式可得直線的斜率為定值．

試題解析：

(Ⅰ) 因為橢圓的離心率為, 且過點,

所以, .

因為,

解得, ,

所以橢圓的方程為.

(Ⅱ)法1：因為的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關于直線對

稱. 設直線的斜率為, 則直線的斜率為.

所以直線的方程為,直線的方程為.

設點, ,

由消去,得. ①

因為點在橢圓上, 所以是方程①的一個根, 則,

所以.

同理.

所以.

又.

所以直線的斜率為.

所以直線的斜率為定值，該值為.

法2：設點，

則直線的斜率, 直線的斜率.

因為的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關于直線對稱.

所以, 即, ①

因為點在橢圓上,

所以，②

. ③

由②得, 得, ④

同理由③得, ⑤

由①④⑤得,

化簡得, ⑥

由①得, ⑦

⑥⑦得.

②③得,得.

所以直線的斜率為為定值.

法3：設直線的方程為，點，

則,

直線的斜率, 直線的斜率.

因為的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關于直線對稱.

所以, 即,

化簡得.

把代入上式, 并化簡得

. (*)

由消去得, (**)

則,

代入(*)得,

整理得,

所以或.

若, 可得方程(**)的一個根為，不合題意.

若時, 合題意.

所以直線的斜率為定值，該值為.