Question

【題目】在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點．

（1）求證：BD⊥EG；
（2）求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解法1

證明：∵EF⊥平面AEB，AE平面AEB，∴EF⊥AE，

又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF平面BCFE，

∴AE⊥平面BCFE．

過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE．

∵EG平面BCFE，

∴DH⊥EG．

∵AD∥EF，DH∥AE，∴四邊形AEHD平行四邊形，

∴EH=AD=2，

∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，

∴四邊形BGHE為正方形，

∴BH⊥EG，

又BH∩DH=H，BH平面BHD，DH平面BHD，

∴EG⊥平面BHD．

∵BD平面BHD，

∴BD⊥EG．

解法2

證明：∵EF⊥平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，

又AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直．

以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）．

∴ ， ，

∴ ，

∴BD⊥EG．

（2）解：∵AE⊥平面BCFE，AE平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面BCFE

由（1）可知GH⊥EF，∴GH⊥平面AEFD

∵DE平面AEFD，∴GH⊥DE

取DE的中點M，連接MH，MG

∵四邊形AEHD是正方形，∴MH⊥DE

∵MH∩GH=H，MH平面GHM，GH平面GHM，∴DE⊥平面GHM，∴DE⊥MG

∴∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，

在△GMH中， ，∴

∴平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值為 ．

解法2

解：由已知得 是平面DEF的法向量．

設平面DEG的法向量為 ，

∵ ，

∴ ，即 ，令x=1，得 ．…

設平面DEG與平面DEF所成銳二面角的大小為θ，

則 …

∴平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值為 ．…

【解析】解法1（1）證明BD⊥EG，只需證明EG⊥平面BHD，證明DH⊥EG，BH⊥EG即可；（2）先證明∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，再在△GMH中，利用余弦定理，可求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值；

解法2（1）證明EB，EF，EA兩兩垂直，以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系用坐標表示點與向量，證明 ，可得BD⊥EG；（2）由已知得 是平面DEF的法向量，求出平面DEG的法向量 ，利用向量的夾角公式，可求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值．

【考點精析】利用直線與平面垂直的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于同一個平面的兩條直線平行．