Question

已知，正項(xiàng)數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且a₂+a₃=24．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)b_n=

2n

3an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列的公比，由已知列式求得公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=

2n

3an

，利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），
由a₁=2，a₂+a₃=24，得2（q+q²）=24，解得：q=-4（舍）或q=3．
則an=2•3n-1；
（2）b_n=

2n

3an

=

2n

2•3n

=

n

3n

．
則Tn=

1

31

+

2

32

+…+

n

3n

．
則

1

3

Tn=

1

32

+

2

33

+…+

n

3n+1

．
兩式作差得：

2

3

Tn=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

．
故Tn=

3

4

(1-

1

3n

)-

n

2•3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．