Question

設函數
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（-1，f（-1））處的切線方程；
（2）當時，求f（x）的極大值和極小值；
（3）若函數f（x）在區間（-∞，-3）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=1時，…（2分）
∴，
∴
即12x+2y-1=0為所求切線方程．…（4分）
（2）當時，
令f'（x）=0得x=-2或x=3…（6分）
令f'（x）＞0可得x＜-2或x＞3；令f'（x）＜0可得-2＜x＜3
∴f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，3）遞減，在（3，+∞）遞增
∴f（x）的極大值為，f（x）的極小值為…（8分）
（3）f'（x）=3ax²+3（2a-1）x-6=3（ax-1）（x+2）
①若a=0，則，∴函數在（-∞，-2）上單調遞增．
∴滿足要求．…（10分）
②若a≠0，則令f'（x）=0，得
∵f（x）在（-∞，-3）上是增函數，即x＜-3時，f'（x）＞0恒成立，
a＞0時，x＜-3，f'（x）＞0恒成立，即a＞0符合題意…（11分）
a＜0時，不合題意．
綜上所述，實數a的取值范圍是[0，+∞）…（12分）
分析：（1）當a=1時，利用導數的幾何意義，確定切線的斜率，求得切點坐標，即可得到切線方程；
（2）當時，求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數f（x）的極大值和極小值；
（3）f'（x）=3ax²+3（2a-1）x-6=3（ax-1）（x+2），分類討論，利用f（x）在（-∞，-3）上是增函數，即x＜-3時，f'（x）＞0恒成立，即可確定實數a的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查恒成立問題，正確求導，恰當分類是關鍵．