Question

已知橢圓C的左，右焦點分別為F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），且該橢圓過點（-1，

3

2

）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知定點A（1，

1

2

），過原點O的直線l與曲線C交于M，N兩點，求△MAN面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據橢圓的結合性質求解得出a²=4，b²=1，即可得出方程．
（Ⅱ）分類①直線l的斜率不存在時；
②直線l的斜率存在時，△MAN面積：

1

2

×|MN|•d=

2|k- 1 2 |

1+4k2

，轉化為S_△MNA的平方為：

4k2-4k+1

1+4k2

=1-

4

4k+ 1 k

利用基本不等式求解得出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C的左，右焦點分別為F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
∴c=

3

，
∵該橢圓過點（-1，

3

2

）．
∴

1

a2

+

3 4

b2

=1，a²=b²+3，
∴橢圓C的方程：

x2

4

+y²=1．
（Ⅱ）①直線l的斜率不存在時，S_△MNA=1，
②直線l的斜率存在時，
設直線l的方程y=kx，與橢圓C交與M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯立方程組得出：|MN|=4

1+k2 1+4k2

，
定點A（1，

1

2

）到直線l的距離d=

|k- 1 2 |

1+k2

，
∴S△MAN面積：

1

2

×|MN|•d=

2|k- 1 2 |

1+4k2

，
∴S_△MNA的平方為：

4k2-4k+1

1+4k2

=1-

4

4k+ 1 k

，
∴當k=-

1

2

時，S_△MNA的平方最大，
故△MAN面積的最大值為：

2

．

點評：本題考察了圓錐曲線與直線的位置關系，求解方程，利用韋達定理求解弦長，面積，轉化為函數求解，難度較大．