Question

已知線段AB的端點B的坐標為（1，3），端點A在圓C：（x+1）²+y²=4上運動．
（1）求線段AB的中點M的軌跡方程；
（2）若直線l₁過點B，且與圓C相切，求l₁的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出A和M的坐標，利用中點坐標公式把A的坐標用M的坐標表示，代入圓的方程后可求線段AB的中點M的軌跡；
（2）利用直線與圓相切，那么圓心到直線的距離為半徑長度，求出直線斜率即可．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），M（x，y），
由中點公式得

x= x1+1 2 y= y1+3 2

，所以

x1=2x-1 y1=2y-3

，
因為A在圓C上，所以（2x-1+1）²+（2y-3）²=4，即x²+（y-

3

2

）²=1，
所以線段AB的中點M的軌跡方程x²+（y-

3

2

）²=1；
（2）當直線斜率存在時，設(shè)直線斜率為k，則直線方程為y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0，圓的圓心為（-1，0），
所以

|-k-k+3|

k2+1

=2，解得k=

5

12

，此時的直線方程為5x-12y+7=0；
當直線斜率不存在時的直線方程為x=1；
所以l₁的方程為5x-12y+7=0和x=1．

點評：本題考查了軌跡方程的求法以及直線與圓的相切的切線方程的求法；注意本題容易忽略斜率不存在的直線方程．