Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），曲線的參數方程為（為參數），以該直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）分別求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設直線交曲線于，兩點，交曲線于，兩點，求的長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線的極坐標方程為：；的直角坐標方程為：；（Ⅱ）

【解析】

（I）消去參數，即可得到曲線的直角坐標方程，結合，即可得到曲線的極坐標方程。（II）計算直線l的直角坐標方程和極坐標方程，計算長，即可。

解法一：（Ⅰ）曲線：（為參數）可化為直角坐標方程：，

即，

可得，

所以曲線的極坐標方程為：.

曲線：，即，

則的直角坐標方程為：.

（Ⅱ）直線的直角坐標方程為，

所以的極坐標方程為.

聯立，得，

聯立，得，

.

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）直線的直角坐標方程為，

聯立，解得，

聯立，解得，

所以.