Question

求經過點（

1

2

，2）且與雙曲線4x²-y²=1僅有一個公共點的直線方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,作圖題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意作圖，討論斜率是否存在，再聯立方程求解即可．

解答： 解：由題意作圖如右圖，
①當直線斜率不存在時，
即x=

1

2

時，與雙曲線4x²-y²=1僅有一個公共點，
故成立；
②當直線的斜率存在時，
設斜率為k，則直線方程為y-2=k（x-

1

2

），
即y=k（x-

1

2

）+2，
與4x²-y²=1聯立消y化簡可得，
（4-k²）x²+（k²-4k）x-

k2

4

+2k-5=0，
①當4-k²=0時，k²-4k≠0，
解得，k=2或k=-2，
此時，直線方程為y-2=2（x-

1

2

）或y-2=-2（x-

1

2

），
即2x-y+1=0或2x+y-1=0；
②當4-k²≠0時，
△=（k²-4k）²-4（4-k²）（-

k2

4

+2k-5）=0，
即32k-80=0，
解得，k=2.5，
故y-2=2.5（x-

1

2

），
即10x-4y+3=0．
故直線方程有：x=

1

2

，2x-y+1=0，2x+y-1=0或10x-4y+3=0．

點評：本題考查了圓錐曲線與直線的交點個數問題，屬于難題．