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選修4-2：矩陣與變換已知二階矩陣e1=
1
-3
有特征值e1=
1
-3
及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=
1
-3
．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）設(shè)曲線C在矩陣M的作用下得到的方程為x2+2y2=1，求曲線C的方程．
分析：（I）根據(jù)矩陣的特征值與特征向量的定義建立等式關(guān)系，解之即可求出a和d的值，從而求出矩陣M；
（II）設(shè)點(diǎn)A（x，y）為曲線C上的任一點(diǎn)，它在矩陣M的作用下得到的點(diǎn)為A'（x'，y'），然后建立等式關(guān)系，將A'（x'，y'）代入方程為x2+2y2=1進(jìn)行求解即可．
解答：解：（Ⅰ）
a1
3d
1
-3
=-1×
1
-3
=
-1
3
，∴
a-3=-1
3-3d=3

解得
a=2
d=0
∴M=
21
30
．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x，y）為曲線C上的任一點(diǎn)，它在矩陣M的作用下得到的點(diǎn)為A'（x'，y'），
則
21
30
x
y
=
x′
y′
，所以
x′=2x+y
y′=3x

代入x2+2y2=1得（2x+y）2+2•（3x）2=1，
所以所求的曲線方程為22x2+4xy+y2=1..…（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ1=2，λ2=-1，它們所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為e1=
1
0
和e2=
0
1
．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線x2+y2=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C1的參數(shù)方程為
x=2sinθ
y=cosθ
(θ為參數(shù)），C2的參數(shù)方程為
x=2t
y=t+1
(t為參數(shù)）
（I）若將曲線C1與C2上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），分別得到曲線C′1和C′2，求出曲線C′1和C′2的普通方程；
（II）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)極點(diǎn)且與C′2垂直的直線的極坐標(biāo)方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關(guān)于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=
1
f(x)+m
的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分
（1）選修4-2：矩陣與變換
變換T是將平面上每個(gè)點(diǎn)M（x，y）的橫坐標(biāo)乘2，縱坐標(biāo)乘4，變到點(diǎn)M′（2x，4y）．
（Ⅰ）求變換T的矩陣；
（Ⅱ）圓C：x2+y2=1在變換T的作用下變成了什么圖形？
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線C1的極坐標(biāo)方程為：5ρ2-3ρ2cos2θ-8=0，直線?的參數(shù)方程為：
x=1-
3
t
y=t
（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線?上有一定點(diǎn)P（1，0），曲線C1與?交于M，N兩點(diǎn)，求|PM|．|PN|的值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且a+b+c+2-2m=0，a2+
1
4
b2+
1
9
c2+m-1=0．
（Ⅰ）求證：a2+
1
4
b2+
1
9
c2≥
(a+b+c)2
14
；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年福建省高三第八次月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題做答，滿分14分

（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換

變換是將平面上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘，縱坐標(biāo)乘，變到點(diǎn).

（Ⅰ）求變換的矩陣；

（Ⅱ）圓在變換的作用下變成了什么圖形？

（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線的極坐標(biāo)方程為：，直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）直線上有一定點(diǎn)，曲線與交于M，N兩點(diǎn)，求的值．

（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講

 已知為實(shí)數(shù)，且

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年福建省福州三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ1=2，λ2=-1，它們所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線x2+y2=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），C2的參數(shù)方程為為參數(shù)）
（I）若將曲線C1與C2上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），分別得到曲線C′1和C′2，求出曲線C′1和C′2的普通方程；
（II）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)極點(diǎn)且與C′2垂直的直線的極坐標(biāo)方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關(guān)于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：福建省龍巖一中2011-2012學(xué)年高三下學(xué)期第八次月考試卷數(shù)學(xué)（理） 題型：解答題

 本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題做答，滿分14分

（1）選修4-2：矩陣與變換

變換是將平面上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘，縱坐標(biāo)乘，變到點(diǎn).

（Ⅰ）求變換的矩陣；

（Ⅱ）圓在變換的作用下變成了什么圖形？

（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線的極坐標(biāo)方程為：，直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）直線上有一定點(diǎn)，曲線與交于M，N兩點(diǎn)，求的值．

（3）選修4-5：不等式選講

 已知為實(shí)數(shù)，且

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

 

 

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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