Question

如圖，為保護河上古橋OA，規劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區．規劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m．經測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸），．以所在直線為軸，以所在直線為軸建立平面直角坐標系.
（Ⅰ）求所在直線的方程及新橋BC的長；
（Ⅱ）當OM多長時，圓形保護區的面積最大？
并求此時圓的方程.

Answer 1

（1）,;（2）線段米時，圓形保護區最大；方程為

解析試題分析：（1）在求直線方程時，應先選擇恰當的直線方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直的直線或經過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況；（2）根據圓的圓心坐標和半徑求圓的標準方程.（3）判斷直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，用幾何法；若方程中含參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法.
試題解析：（Ⅰ）建立平面直角坐標系xOy.
由條件知A（0, 60），C（170, 0），
直線BC的斜率k _BC=－tan∠BCO=－.
又因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率k _AB=
設點B的坐標為（a,b），則k _BC=
k _AB=
解得a=80，b=120.所以BC=.
因此直線BC的方程為，即..............6分
新橋BC的長是150 m.
（Ⅱ）設保護區的邊界圓M的半徑為r m,OM="d" m,（0≤d≤60）.
由知，直線BC的方程為
由于圓M與直線BC相切，故點M（0，d）到直線BC的距離是r，
即.
因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m,
所以即解得
故當d=10時,最大，即圓面積最大.
所以當OM =" 10" m時，圓形保護區的面積最大.此時圓的方程為..........................13分
考點：（1）直線方程的應用；（2）直線與圓的方程的綜合應用.