Question

（本題滿分12分）設函數f(x)＝x³－ax²＋3x＋5(a＞0)．
(1)已知f(x)在R上是單調函數，求a的取值范圍；
(2)若a＝2，且當x∈[1,2]時，f(x)≤m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

(1) 0＜a≤6 ；(2) [15，＋∞)．

試題分析：(1)f′(x)＝3x²－ax＋3，              2分
其判別式Δ＝a²－36.
當0＜a≤6時，f′(x)≥0恒成立，                4分
此時f(x)在R上為增函數．                       6分
(2)a＝2時，f′(x)＝3x²－2x＋3＞0恒成立，
因此f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數，                8分
從而f(x)在[1,2]上遞增，則f(x)_max＝f(2)＝15，        10分
要使f(x)≤m在x∈[1,2]上恒成立，只需15≤m，
解得m∈[15，＋∞)．
故m的取值范圍是[15，＋∞)．                      12分
點評：解決恒成立問題常用變量分離法，變量分離法主要通過兩個基本思想解決恒成立問題， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。