Question

設(shè)函數(shù)，.
（1）若曲線與在它們的交點(diǎn)處有相同的切線，求實(shí)數(shù)、的值；
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）從條件“曲線與在它們的交點(diǎn)處有相同的切線”得到以及，從而列有關(guān)、的二元方程組，從而求出與的值；（2）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，確定函數(shù)在區(qū)間上是單峰函數(shù)后，然后對(duì)函數(shù)的端點(diǎn)值與峰值進(jìn)行限制，列不等式組解出的取值范圍；（3）將，代入函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)函數(shù)的極值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031420391839.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，.
因?yàn)榍�線與在它們的交點(diǎn)處有相同切線，
所以，且，
即,且，解得，；
（2）當(dāng)時(shí)，，
所以，
令，解得，，
當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：

	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) ，
即，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）當(dāng)，時(shí)，．
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為．
由于，，所以．
①當(dāng)，即時(shí)， ；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，；
綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為
.