Question

【題目】如圖，多面體ABCDE中，AB=AC，平面BCDE⊥平面ABC，BE∥CD，CD⊥BC，BE=1，BC=2，CD=3，M為BC的中點．
（1）若N是棱AE上的動點，求證：DE⊥MN；
（2）若平面ADE與平面ABC所成銳二面角為60°，求棱AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結EM、AM、DM，

∵AB=AC，且M為BC的中點，∴AM⊥BC，

∵平面BCDE⊥平面ABC，∴AM⊥平面BCDE，∴AM⊥DE，

∵在直角梯形BCDE中，BE=1，BC=2，CD=3，

∴△DEM中，DE=2 ，EM= ，DM= ，

∴DE2+EM2=DM2，∴DE⊥EM，

又AM∩EM=M，∴DE⊥平面AEM，

∵MN平面AEM，∴DE⊥MN．

（2）解：取DE的中點P，則PM∥BE，

∵BE⊥BC，∴PM⊥BC，由（1）知，AM⊥平面BCDE，

∴MB、MA、MP兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系M﹣xyz，

設AM=t，（t＞0），則A（0，t，0），D（﹣1，0，3），E（1，0，1），

∴ =（﹣1，﹣t，3）， =（2，0，﹣2），

設平面ADE的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，令x=t，則 =（t，2，t），

∵平面ABC的一個法向量 =（0，0，1），

∵二面角A﹣DE﹣B為60°，

∴|cos60°|=|cos＜ ＞|=| |= ，

解得t= ，此時AB= ．

【解析】（1）連結EM、AM、DM，推導出AM⊥DE，DE⊥EM，從而DE平面AEM，由此能證明DE⊥MN．（2）取DE的中點P，建立空間直角坐標系M﹣xyz，利用向量法能求出結果．
【考點精析】關于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關系，需要了解相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能得出正確答案．