Question

【題目】如圖所示，四面體ABCD中，已知平面BCD⊥平面ABC，BD⊥DC，BC=6，AB=4 ，∠ABC=30°．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）若二面角B﹣AC﹣D為45°，求直線AB與平面ACD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：△ABC中，由余弦定理得AC2=36+48﹣2× =12，

∴ ，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，AC平面ABC，

∵AC⊥平面BCD．又∵BD平面BCD，

∴AC⊥BD．

（2）解：∵AC⊥平面BCD，CD平面BCD，

∴AC⊥CD．又∵BC⊥AC，

∴∠BCD是平面DAC與平面BAC所成的二面角的平面角，即∠BCD=45°．

∵BD⊥CD，AC⊥BD，CD平面ACD，AC平面ACD，CD∩AC=C，

∴BD⊥平面ACD．

∴∠BAD是AB與平面ACD所成的角．

Rt△ACD中， ，

∴ ．

即求直線AB與平面ACE所成的角的正弦值為 ．

【解析】（1）利用余弦定理計(jì)算AC，得出AC⊥BC，再利用面面垂直的性質(zhì)得出AC⊥平面BCD，從而有AC⊥BD；（2）證明BD⊥平面ACD，于是∠BAD為所求角，先計(jì)算BD，在Rt△ABD中計(jì)算sin∠BAD．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．