Question

【題目】已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB．
（1）求角C；
（2）若c=2 ，△ABC的中線CD=2，求△ABC面積S的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC的三個內角為A，B，C，且cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB．

sin2C﹣sinAsinB=sin2A+sin2B，

∴由正弦定理化簡得：c2﹣ab=a2+b2，

∴cosC= ，

可得：cosC=

∵0＜C＜π，

∴C= ．

（2）解：設∠ADC=α，則∠CDB=π﹣α．

在△ADC中，由余弦定理可得：b2= ﹣ ，

在△CDB中，由余弦定理可得：a22= ﹣2× cos（π﹣α），

∴b2+a2=20，

在△ABC中，由余弦定理可得： =b2+a2﹣2ba ，化為：b2+a2+ba=24．

∴ba=4．

∴S△ABC= basin = ．

【解析】（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式利用正弦定理化簡，整理后代入計算求出cosC的值，即可確定出C的度數．（2）設∠ADC=α，則∠CDB=π﹣α．在△ADC與△ADB中，由余弦定理可得：b2+a2=20，在△ABC中，由余弦定理可得：b2+a2+ba=24．可得ba=4．即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．