Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足Sn=2﹣an ， n=1，2，3，…．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=1，且bn+1=bn+an ， 求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)cn=n（3﹣bn），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閚=1時，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．

因?yàn)镾n=2﹣an，即an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2．

兩式相減：an+1﹣an+Sn+1﹣Sn=0，即an+1﹣an+an+1=0，故有2an+1=an．

因?yàn)閍n≠0，所以 = （ n∈N*）．

所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1，公比為 的等比數(shù)列，an= （ n∈N*）．

（2）解：因?yàn)閎n+1=bn+an（ n=1，2，3，…），所以bn+1﹣bn= ．從而有b2﹣b1=1，b3﹣b2= ，b4﹣b3= ，…，bn﹣bn﹣1= （ n=2，3，…）．

將這n﹣1個等式相加，得bn﹣b1=1+ + +…+ = =2﹣2 ．

又因?yàn)閎1=1，所以bn=3﹣ （ n=1，2，3，…）．

（3）解：因?yàn)閏n=n （3﹣bn）=2n ，

所以Tn= ． ①

= ． ②

①﹣②，得 = ﹣ ．

故Tn= ﹣ =8﹣ ﹣ =8﹣ （ n=1，2，3，…）．

【解析】（1）利用數(shù)列中an與 Sn關(guān)系 解決．（2）結(jié)合（1）所求得出bn+1﹣bn= ．利用累加法求bn（3）由上求出cn=n （3﹣bn）=2n ，利用錯位相消法求和即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握通項(xiàng)公式：；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．