Question

【題目】設橢圓M： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，點A（a，0），B（0，﹣b），原點O到直線AB的距離為 ．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=2x+m與橢圓M相交于C、D不同兩點，經過線段CD上點E的直線與y軸相交于點P，且有 =0，| |=| |，試求△PCD面積S的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 得a=
可得直線AB的方程為 ，于是 ，
得b= ，b2=2，a2=4，所以橢圓M的方程為
（Ⅱ）設C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），由方程組 ，
得9x2+8mx+2m2﹣4=0，
所以有 ， ，且△≥0，即m2≤18．

=
=
=
= ．
因為 =0，
所以 ，
又| |=| |，
所以E是線段CD的中點，
點E的坐標為 ，即E的坐標是 ，
因此直線PE的方程為y=﹣ ，得點P的坐標為（0，﹣ ），
所以|PE|=
= ．（2分）
因此
= ．
所以當m2=9，即m=±3時，S取得最大值，最大值為 ．
【解析】（Ⅰ）由 得a= ．可得直線AB的方程為 ，于是 ，由此能夠求出橢圓M的方程．（Ⅱ）設C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），由方程組 ，得9x2+8mx+2m2﹣4=0，所以有 ， ，且△≥0，即m2≤18. = ．由 ，E是線段CD的中點，由此能求出S的最大值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．