Question

【題目】如圖，正方形所在平面，M是的中點，二面角的大小為.

（1）設l是平面與平面的交線，證明；

（2）在棱是否存在一點N，使為的二面角.若不存在，說明理由：若存在，求長.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在，

【解析】

（1）先證明平面，再利用線面平行的性質即得證；

（2）易知二面角的平面角，由此建立空間直角坐標系，并求出各點的坐標，設，求出平面的法向量，根據的二面角為，建立方程，解出即可得出結論.

解：（1）證明：∵四邊形為正方形，

∴，

又在平面內，不在平面內，

∴平面，

又平面過直線，且平面平面，

∴：

（2）∵正方形所在平面，

∴易知二面角的平面角即為，

以A為坐標原點，，，分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設正方形的邊長為2，

則，，，，設，

易得平面的一個法向量為，

設平面的一個法向量為，又，，

則，則可取，

∴，解得，

故存在存在一點N，使為的二面角，且.