Question

已知α是銳角．
（1）求證：1＜sinα+cosα＜

π

2

；
（2）利用單位圓中的三角函數(shù)線求同時滿足sinα≤

3

2

，cos≥

3

2

的α的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)線

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用單位圓與三角函數(shù)線，結(jié)合圖形即可證明；
（2）畫出圖形，結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線，寫出α的取值范圍．

解答： 解：（1）證明：∵α為銳角，α的終邊落在第一象限內(nèi)，
設(shè)α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y）時，過P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，作PN⊥Y軸于點(diǎn)N（如圖），
則sinα=MP，cosα=OM=NP，
利用三角形兩邊之和大于第三邊得：sinα+cosα=MP+OM＞1；
又∵sinα+cosα=MP+OM＜

PA

+

PB

=

AB

=

π

2

，
∴1＜sinα+cosα＜

π

2

．

（2）畫出圖形，如圖所示；
單位圓中的三角函數(shù)線同時滿足sinα≤

3

2

，cos≥

3

2

的α是

- 4π 3 +2kπ≤x≤ π 3 +2kπ - π 6 +2kπ≤x≤ π 6 +2kπ，k∈Z

；
即α的取值范圍是{-

π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，用單位圓中的三角函數(shù)線表示三角函數(shù)的值的應(yīng)用問題，考查了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．