Question

【題目】已知定點、，直線、相交于點，且它們的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）過點的直線與曲線交于、兩點，是否存在定點，使得直線與斜率之積為定值，若存在求出坐標；若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 曲線的方程為 ;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）設動點，利用斜率公式，由，化簡即可得到曲線的方程；

（2）由已知直線過點，設的方程為，聯立方程組，得，

得到的表達式，即可確定定值，得到定點的坐標．

試題解析：

（1）設動點，則， ，

， 即．

化簡得： ，

由已知，故曲線的方程為 ．

（2）由已知直線過點，

設的方程為，則聯立方程組，

消去得,

設， ，則，

直線與斜率分別為， ，

．

當時， ；當時， ．

所以存在定點，使得直線與斜率之積為定值．