Question

【題目】已知函數.

（1）若，且函數在其定義域內為增函數，求實數的取值范圍；

（2）設函數，若在上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）＝，求其導函數，利用F（x）在定義域（0，+∞）內為增函數，得≥0在（0，+∞）上恒成立，得，設，利用導數求最大值可得正實數p的取值范圍；

（2）設函數＝f（x）﹣g（x）＝px﹣，x∈[1，e]，轉化為 在[1，e]上至少存在一點x0，使得求函數的導函數，然后對p分類求 的最大值即可.

（1），.

由定義域內為增函數，所以在上恒成立，

所以即，對任意恒成立，

設，=0的根為x=1

得在上單調遞增，在上單調遞減，

則，所以，即.

（2）設函數，，

因為在上至少存在一點，使得成立，則

，

①當時，，則在上單調遞增，，舍；

②當時，，

∵，∴，，，則，舍；

③當時，，

則在上單調遞增，，得，

綜上，.