Question

【題目】已知動圓與圓外切，與圓內切.

（Ⅰ）試求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）與圓相切的直線與軌跡交于兩點，若直線的斜率成等比數列，試求直線的方程；

Answer 1

【答案】（1）（2）或.

【解析】【試題分析】（１）借助兩圓的位置關系與半徑之間的數量關系建立方程求解；（２）運用直線與橢圓的位置關系建立方程組，通過坐標之間的關系求解：

（Ⅰ）圓可化為，圓可化為，

設動圓的半徑為，兩定圓的圓心分別為， ，則，

，∴，根據橢圓的定義可知，軌跡是以為焦點的橢圓，且， ，則，

故軌跡的方程為.

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在且不為.

設直線的方程為，

聯立

消去得，

設， ，則

根據直線的斜率成等比數列，

可知，即，

∵，

∴，∴，∴，

由直線與圓相切可得，可得，

故所求直線方程為或.