Question

在遞增等差數列{a_n}（n∈N_*）中，已知a₃=1，a₄是a₃和a₇的等比中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，求使S_n＞0時n的最小值．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由等比中項的性質和等差數列的通項公式，列出關于a₁、d的方程組，求出方程組的解代入等差數列的通項公式化簡即可；
（2）由等差數列的前n項和公式求出S_n，由n的范圍求不等式S_n＞0，可求出n的最小值．

解答： 解：（1）在遞增等差數列{a_n}中，設公差為d＞0，
因為a₃=1，a₄是a₃和a₇的等比中項，
所以

a42=a3×a7 a3=1

，即

(a1+3d)2=1×(a1+6d) a1+2d=1

，解得

a1=-3 d=2

，
所以a_n=-3+（n-1）×2=2n-5----------（6分）
（2）由（1）得，Sn=

n(-3+2n-5)

2

=n2-4n--（9分），
由Sn=n2-4n＞0得，n＞4，
故n的最小值為5．（12分）

點評：本題考查等比中項的性質，等差數列的通項公式、前n項和公式，注意n的取值范圍．