Question

已知曲線f（x）=

1

2

e^2x-1在點A處的切線和曲線g（x）=

1

2

e^-2x-1在B點處切線互相垂直，O為坐標原點，且

OA

•

OB

=0，求△AOB的面積．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：設A（x_A，

1

2

e^2x_A-1），B（x_B，

1

2

e^-2x_B-1）；從而求導可得f′（x_A）=e^2x_A-1，g′（x_B）=-e^-2x_B-1；聯立方程求點的坐標，從而求面積．

解答： 解：設A（x_A，

1

2

e^2x_A-1），B（x_B，

1

2

e^-2x_B-1）；
f′（x_A）=e^2x_A-1，g′（x_B）=-e^-2x_B-1；
故由題意知，
e^2x_A-1•（-e^-2x_B-1）=-1；
x_Ax_B+

1

2

e^2x_A-1（

1

2

e^-2x_B-1）=0；
解得，x_B=-

1

2

，x_A=

1

2

；
故A（

1

2

，

1

2

），B（-

1

2

，

1

2

）；
故S_△AOB=

1

2

×

2

2

×

2

2

=

1

4

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及導數的幾何意義的應用，屬于中檔題．