Question

【題目】已知三棱柱中，，，，．

求證：面面；

若，在線段上是否存在一點，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

由，可得四邊形為菱形，則，又，利用線面垂直的判定可得平面，得到，結合，即可證明平面，從而可證明面面；

以C為坐標原點，分別以CA，CB所在直線為x，y軸建立空間直角坐標系，設在線段AC上存在一點P，滿足，使得二面角的余弦值為，利用二面角的余弦值為，可求得的值，從而得到答案。

證明：如圖，，四邊形為菱形，

連接，則，又，且，

平面，則，

又，即，平面，

而平面，面面；

解：以C為坐標原點，分別以CA，CB所在直線為x，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

，，，

0，，2，，0，，0,

設在線段上存在一點，滿足，使得二面角的余弦值為．

則．

0，，，，，．

設平面的一個法向量為，

由，取，得；

平面的一個法向量為．

由，

解得：，或，

因為，所以.

故在線段上存在一點，滿足，使二面角的余弦值為.