Question

【題目】已知函數 f(x)＝，x∈R，其中 a＞0.

(Ⅰ)求函數 f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若函數 f(x)（x∈(－2,0)）的圖象與直線 y=a 有兩個不同交點，求 a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數 f(x)的單調遞增區間是(－∞，－1)，(a，＋∞)；單調遞減區間是(－1，a)．

（2）(0, ).

【解析】

分析：（1）先求函數的導函數，找出導函數的零點，把定義域由零點分成幾個區間判斷導函數在各區間內的符號，從而得到原函數在個區間內的單調性；（2）根據（1）中求出的單調區間，說明函數在區間（-2，-1）內單調遞增，在區間（-1，0）內單調遞減，結合函數零點和方程根的轉化列式可求a的范圍．

詳解：

(Ⅰ)f′(x)＝＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．

由 f′(x)＝0，得＝－1，＝a＞0.

當 x 變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－1)	－1	(－1，a)	a	(a，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		極大值		極小值

故函數 f(x)的單調遞增區間是(－∞，－1)，(a，＋∞)；

單調遞減區間是(－1，a)．

(Ⅱ) 令 g(x)=f(x)-a，x∈(－2,0)，

則函數 g(x)在區間(－2,0)內有兩個不同的零點，

由(Ⅰ)知 g (x)在區間(－2，－1)內單調遞增，在區間(－1，0)內單調遞減，

從而

解得 0＜a＜. 所以 a 的取值范圍是(0, )