Question

已知a，b，c分別是△ABC的角A，B，C的對邊，且（a-b）（sinA+sinB）=（sinA-sinC）c，若△ABC面積的最大值為

3

4

，求a=

 

．

Answer 1

考點：正弦定理的應用

專題：解三角形

分析：運用正弦定理將角化為邊，再由余弦定理，可得cosB，進而得到sinB，再由三角形的面積公式，結合基本不等式即可得到最大值，運用等號成立的條件，即可得到a．

解答： 解：由正弦定理，得：（a-b）（sinA+sinB）=（sinA-sinC）c
即為：（a-b）（a+b）=c（a-c），
即：a²+c²-b²=ac，
由余弦定理，可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
即有sinB=

3

2

，
由于a²+c²≥2ac，當且僅當a=c取得等號．
則ac≤b²，
由于△ABC面積的最大值為

3

4

，
則有

1

2

≤

1

2

b²×

3

2

=

3

4

b²，
即有b=1，則a=1．
故答案為：1．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的運用，考查三角形的面積公式，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．