Question

已知△ABC的頂點A（0，1），AB邊上的中線CD所在的直線方程為2x-2y-1=0，AC邊上的高BH所在直線的方程為y=0．
（Ⅰ）求△ABC的頂點B、C的坐標；
（Ⅱ） 若圓M經過A、B且與直線x-y+3=0相切于點P（-3，0），求圓M的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點C（m，n），由于頂點A（0，1），AB邊上的中線CD所在的直線方程為2x-2y-1=0，AC邊上的高BH所在直線的方程y=0，可得m=0，2m-2n-1=0，即可解得n．設B（b，0），則AB的中點D(

b

2

，

1

2

)，
代入方程2x-2y-1=0，可得b-1-1=0，解得b即可．
（II）利用垂徑定理可得：圓M的弦AB的中垂線方程為4x-2y-3=0，由于⊙M與x-y+3=0相切，切點為（-3，0）可得，圓心所在直線為y+x+3=0，聯立可得⊙M的圓心．進而得到半徑和圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）設點C（m，n），
∵頂點A（0，1），AB邊上的中線CD所在的直線方程為2x-2y-1=0，AC邊上的高BH所在直線的方程y=0
∴m=0，2m-2n-1=0，解得n=-

1

2

．
∴C(0，-

1

2

)．
設B（b，0），則AB的中點D(

b

2

，

1

2

)，
代入方程2x-2y-1=0，可得b-1-1=0，解得b=2，
∴B（2，0）．
（Ⅱ） 由A（0，1），B（2，0）可得，圓M的弦AB的中垂線方程為4x-2y-3=0，①
由與x-y+3=0相切，切點為（-3，0）可得，圓心所在直線為y+x+3=0，②
①②聯立可得，M(-

1

2

，-

5

2

)，
半徑R=|MA|=

1 4 + 49 4

=

50

2

，
∴所求圓方程為(x+

1

2

)2+(y+

5

2

)2=

25

2

．
即x²+y²+x+5y-6=0．

點評：本題綜合考查了相互垂直的直線斜率之間的關系、中點坐標公式、垂徑定理、圓的切線的性質、圓的方程等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．