Question

【題目】已知函數f(x)＝mx-lnx-1（m為常數）．

（1）若函數f(x)恰有1個零點，求實數m的取值范圍；

（2）若不等式mx-ex≤f(x)+a對正數x恒成立，求實數a的最小整數值．

Answer 1

【答案】（1）{m|m≤0或m=1}（2）實數a的最小整數值為-1

【解析】

（1）首先寫出f（x）的定義域，函數f（x）恰有1個零點方程f（x）=0僅有一個正實數解，由f（x）=0，得，設g（x），然后求導，找出g（x）的最值，結合圖象求出m的范圍；

（2）mx-ex≤f（x）+alnx-ex≤a-1．設h（x）=lnx-ex，求導判斷h（x）的單調區間，利用單調性求出a的最值即可．

解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），

函數f（x）恰有1個零點方程f（x）=0僅有一個正實數解，

由f（x）=0，得，

設g（x），則，

令g′（x）＞0．得0＜x＜1，

令g′（x）＜0，得x＞1，

∴g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

∴g（x）在x=1處取得唯一的極大值，即為最大值，

故g（x）的最大值為g（1）=1．

當x趨近于0時，lnx+1趨近于-∞，

所以g（x）為負數，

當x趨近于+∞時，x的增長速度大于lnx+1的增長速度，

且當x＞1時，

故g（x）趨近于0，

由圖可知，當m≤0或者m=1時，方程m=g（x）僅有一個實數解，

∴m的取值范圍為{m|m≤0或m=1}；

（2）∵mx-ex≤f（x）+a，

∴lnx-ex≤a-1，

設h（x）=lnx-ex，

∴

又∵在（0，+∞）上為減函數，h′（1）=1-e＜0，，

∴存在唯一的零點，

此時h（x）在（0，x0）上單調遞增，在（x0，+∞）上單調遞減，/p>

且=0，

∴，x0=-lnx0，

由單調性知=-（x0+），

又，故，

∴mx-ex≤f（x）+a對任意正數x恒成立時，a-1≥-2，

∴a≥-1，

∴實數a的最小整數值為-1．