Question

【題目】已知圓的方程為，直線l的方程為，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.

（1）若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求證：經(jīng)過A，P，三點(diǎn)的圓必經(jīng)過異于的某個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）和；（2）和

【解析】

（1）設(shè)，連接，分析易得，即有，解得的值，即可得到答案.

（2）根據(jù)題意，分析可得：過A，P，三點(diǎn)的圓為以為直徑的圓，設(shè)的坐標(biāo)為

，用表示過A，P，三點(diǎn)的圓為，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分析可得答案.

（1）根據(jù)題意，點(diǎn)P在直線l上，

設(shè)，連接，

因?yàn)閳A的方程為，

所以圓心，半徑，

因?yàn)檫^點(diǎn)P作圓的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B；

則有，且，

易得，

又由，即，

則，即有，

解得或，即的坐標(biāo)為和.

（2）根據(jù)題意，是圓的切線，則，

則過A，P，三點(diǎn)的圓為以為直徑的圓，

設(shè)的坐標(biāo)為，，

則以為直徑的圓為，

變形可得：，

即，

則有，解得或，

則當(dāng)和，時(shí)，恒成立，

則經(jīng)過A，P，三點(diǎn)的圓必經(jīng)過異于的某個(gè)定點(diǎn)，

且定點(diǎn)的坐標(biāo)和.