Question

已知正項數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（Ⅰ） 求證：數列{b_n}為等比數列；
（Ⅱ） 記T_n為數列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的前n項和，是否存在實數a，使得不等式T_n＜a-

3

a

-1對?n∈N^*恒成立？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）由于正項數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），變形an+1+1=(an+1)2，兩邊取對數可得：log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1）．即b_n+1=2b_n，可得數列
{b_n}為等比數列．
（II）由（I）可得bn=2n-1．于是

1

log2bn+1log2bn+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．利用“裂項求和”可得數列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的前n項和T_n=1-

1

n+1

．對?n∈N^*恒有1-

1

n+1

＜1，假設存在實數a，使得不等式T_n＜a-

3

a

-1對?n∈N^*恒成立，則a-

3

a

-1＞1，解出即可．

解答： （I）證明：∵正項數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），
∴an+1+1=(an+1)2，
兩邊取對數可得：log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1）．
∵b_n=log₂（a_n+1），
∴b_n+1=2b_n，b₁=log₂（a₁+1）=1．
∴數列{b_n}為等比數列．
（II）解：由（I）可得bn=2n-1．
∴

1

log2bn+1log2bn+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴數列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的前n項和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．
∵1-

1

n+1

＜1，
假設存在實數a，使得不等式T_n＜a-

3

a

-1對?n∈N^*恒成立，則a-

3

a

-1＞1，化為

a2-2a-3

a

＞0，∴a（a-3）（a+1）＞0，
解得-1＜a＜0或a＞3．
∴存在實數a∈（-1，0）∪（3，+∞），使得不等式T_n＜a-

3

a

-1對?n∈N^*恒成立．

點評：本題考查了等比數列的定義及其通項公式、“裂項求和”、“取對數法”、不等式的解法，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．