Question

對于一切實數x，令[x]為不大于x的最大整數，例如：[3.05]=3，[

5

3

]=1，則函數f（x）=[x]稱為高斯函數或取整函數，若an=f(

n

3

)(n∈N*)，S_n為數列{a_n}的前n項和，則S₃₀=

145

．

Answer 1

分析：由題意可得，a₁=a₂=0，a₃=a₄=a₅=1，a₆=a₇=a₈=2，a₉=a₁₀=a₁₁=3，a₁₂=a₁₃=a₁₄=4，a₁₅=a₁₆=a₁₇=5，a₁₈=a₁₉=a₂₀=6，a₂₁=a₂₂=a₂₃=7，a₂₄=a₂₅=a₂₆=8，a₂₇=a₂₈=a₂₉=9，a₃₀=10．由此能求出S₃₀．

解答：解：由題意可得，a1=[

1

3

] =0，a2=[

2

3

] =0，a₃=a₄=a₅=1，
a₆=a₇=a₈=2，a₉=a₁₀=a₁₁=3，a₁₂=a₁₃=a₁₄=4，a₁₅=a₁₆=a₁₇=5，a₁₈=a₁₉=a₂₀=6，
a₂₁=a₂₂=a₂₃=7，a₂₄=a₂₅=a₂₆=8，a₂₇=a₂₈=a₂₉=9，a₃₀=10．
∴S₃₀=0×2+3×（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+10=145．
故答案為：145．

點評：本題主要考查數列與函數的綜合運用，主要涉及了數列的推導與歸納，同時又是新定義題，應熟悉定義，將問題轉化為已知等差數列的求和問題去解決