Question

【題目】已知奇函數f（x）在x≥0時的圖象是如圖所示的拋物線的一部分，
（1）請補全函數f（x）的圖象

（2）求函數f（x）的表達式，
（3）寫出函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據奇函數圖象的特點，畫出圖形，如圖所示：

（2）解：當x≥0時，設f（x）=a（x﹣1）2﹣2，又f（0）=0，得a=2，即f（x）=2（x﹣1）2﹣2；

當x＜0時，﹣x＞0，則f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[2（﹣x﹣1）2﹣2]=﹣2（x+1）2+2，

所以f（x）=

（3）解：根據函數圖象可知：

函數f（x）的單調遞增區間是：（﹣∞，﹣1]或[1，+∞）；

函數f（x）的單調遞減區間是：[﹣1，1]

【解析】（1）根據奇函數圖象的特點，奇函數圖象關于原點對稱，補全函數f（x）的圖象；（2）當x大于0時，根據圖象找出拋物線的頂點坐標，設出拋物線的頂點式，又根據拋物線過原點，把原點坐標代入即可確定出拋物線的解析式；當x小于0時，﹣x大于0，代入所求的拋物線解析式中，化簡可得x小于0時的解析式，綜上，得到f（x）的分段函數解析式；（3）根據圖象及二次函數的對稱軸，即可寫出f（x）的遞增區間及遞減區間．
【考點精析】利用函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種．