Question

【題目】設(shè)a＞0， 是R上的函數(shù)，且滿足f（﹣x）=f（x），x∈R．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：取x=1，則f（﹣1）=f（1），即 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∵ ，∴ ．

∴a2=1．

又a＞0，∴a=1

（2）證明：由（1）知 ．

設(shè)0＜x1＜x2，則

=

=

= ＜0．

∴f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)

【解析】（1）取x=1，則f（﹣1）=f（1），化簡即可解出．（2）利用單調(diào)遞增函數(shù)的定義即可證明．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的理解，了解在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．