Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）在其定義域上的奇偶性；
（2）證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù) ．

∴a+1=2，∴a=1，

∴ ，

∴f（x）的定義域{x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴ ，

∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)

（2）證明：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，

則 ，

∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，

又x1，x2∈（1，+∞），

∴x1x2＞1x1x2﹣1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)

【解析】（1）由f（1）=2求出a的值，得f（x）的解析式，從而判定f（x）的奇偶性．（2）用單調(diào)性定義證明f（x）在（1，+∞）上的增減性．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．