Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知曲線,直線.

(1)將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍、倍后得到曲線,請(qǐng)寫出直線,和曲線的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線交于點(diǎn),求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）2

【解析】分析：（1）根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)化公式及變換公式可得所求的方程．（2）由題意可求得直線的參數(shù)方程，將其代入曲線的方程消元后得到關(guān)于參數(shù)的二次方程，然后根據(jù)參數(shù)的幾何意義可得所求．

詳解：（1）將代入，可得，

∴直線的直角坐標(biāo)方程為．

設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以，

代入得，

所以的方程為．

（2）直線：的傾斜角為，

由題意可知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

把（為參數(shù)）代入曲線的方程整理得．

設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，

則，

由直線參數(shù)的幾何意義可知．