Question

如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過的一個(gè)平面與側(cè)棱、、或其延長線分別相交于、、，已知．

（1）證明：⊥平面；

（2）求二面角的大小.

Answer 1

解法一：（1）依題設(shè)，是的中位線，所以∥，

 

則∥平面，所以∥。

又是的中點(diǎn)，所以⊥，則⊥。

因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/66/189806716610017666/16.gif" width=25 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1321">⊥，⊥，

所以⊥面，則⊥，

因此⊥面.

（2）作⊥于，連.因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/66/189806716610017666/30.gif" width=29 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1335">⊥平面，

根據(jù)三垂線定理知，⊥，

就是二面角的平面角。

作⊥于，則∥，則是的中點(diǎn)，則.

設(shè)，由得，，解得，

即

在中，，則，。

所以，故二面角的大小為。解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

所以

所以

所以平面

由∥得∥，故平面(2)由已知設(shè)

則

由與共線得:存在有得

 

同理:

設(shè)是平面的一個(gè)法向量,

則

即令得 

又是平面的一個(gè)法向量

所以

由圖可知，所求二面角的大小為