Question

（本小題滿分10分）選修4-1:幾何證明選講
如圖，的角平分線的延長線交它的外接圓于點.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若的面積,求的大小.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析
（Ⅱ）90°

本題主要考查平面幾何中與圓有關的定理及性質的應用、三角形相似及性質的應用.
證明：（Ⅰ）由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD．
因為∠AEB與∠ACB是同弧上的圓周角，所以∠AEB＝∠ACD．
故△ABE∽△ADC．
（Ⅱ）因為△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE．
又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE．
則sin∠BAC＝1，又∠BAC為三角形內角，所以∠BAC＝90°．
【點評】在圓的有關問題中經常要用到弦切角定理、圓周角定理、相交弦定理等結論，解題時要注意根據已知條件進行靈活的選擇，同時三角形相似是證明一些與比例有關問題的的最好的方法.