Question

【題目】某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現故障需要維修的概率為.

(1)若出現故障的機器臺數為，求的分布列；

(2) 該廠至少有多少名工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不少于90%？

(3)已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修，就使該廠產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤，若該廠現有2名工人，求該廠每月獲利的均值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ．

【解析】試題分析：（1）首先利用題意判定該隨機變量服從二項分布，再利用二項分布的概率公式求出每個變量對應的概率，再列表得到分布列；（2）利用互斥事件至少有一個發生的概率公式進行求解；（3）列出隨機變量的所有可能取值，利用對應關系得到每個變量的概率，列表得到分布列，進而得到期望值.

試題解析：（1）一臺機器運行是否出現故障可看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現故障設為，則事件的概率為，該廠有4臺機器就相當于4次獨立重復試驗，因出現故障的機器臺數為，故，

， ,

，

即的分布列為：

（2）設該廠有名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現故障及時進行維修”為，即， ， ， ，這個互斥事件的和事件，則

%,

至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障能及時進行維修的概率不少于90%.

（3）設該廠獲利為萬元，則的所有可能取值為：

，

，

，

即的分布列為：

則，

故該廠獲利的均值為.