Question

【題目】選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線．

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程．

（Ⅱ）求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】試題分析： (Ⅰ) 消去得直線的普通方程為. 由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式 ，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為, 即.

(Ⅱ) 設(shè)曲線上的點(diǎn)為,

則點(diǎn)到直線的距離為 當(dāng)時(shí), , 可得曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.

試題解析：

(Ⅰ) 由 消去得,

所以直線的普通方程為.

由,

得.

將代入上式,

得曲線的直角坐標(biāo)方程為, 即.

(Ⅱ) 法1:設(shè)曲線上的點(diǎn)為,

則點(diǎn)到直線的距離為

當(dāng)時(shí), ,

所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.

法2: 設(shè)與直線平行的直線為,

當(dāng)直線與圓相切時(shí), 得,

解得或 (舍去),

所以直線的方程為.

所以直線與直線的距離為.

所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.