Question

【題目】已知函數（為常數）.

（1）若在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）若，討論函數的單調性；

（3）若為正整數，函數恰好有兩個零點，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）由題意得出，即可求出實數的值；

（2）由，可得出，對與的大小關系進行分類討論，分析導數的符號，可得出函數的單調增區間和減區間；

（3）分、和三種情況討論，結合（2）中函數的單調性以及零點存在定理來判斷出函數的零點個數，可得出整數的值.

（1）由題意，，則，

由于函數的圖象在處的切線與直線垂直，

則，所以，因此，；

（2），則.

①若時，，

當或時，，時，，

所以在和單調遞增，在單調遞減，

②若時，，對，恒成立，在單調遞增；

③若時，，

當或時，，時，，

所以在和單調遞增，在單調遞減；

（3）因為為正整數，

若，則，，

由（2）知在和單調遞增，在單調遞減，

又，所以在區間內僅有實根，，

又，所以在區間內僅有實根.

此時，在區間內恰有實根；

若，在單調遞增，至多有實根.

若，，

令，則，，，

所以.

由（2）知在單調遞減，在和單調遞增，

所以，所以在至多有實根.

綜上，.